HUKUM COULOMB

Tinjaulah interaksi antara dua benda bermuatan yang dimensi geometrinya dapat diabaikan terhadap jarak antar keduanya. Maka dalam pendekatan yang cukup baik dapat dianggap bahwa kedua benda bermuatan tersebut sebagai titik muatan. Charles Augustin de Coulomb(1736-1806) pada tahun 1784 mencoba mengukur gaya tarik atau gaya tolak listrik antara dua buah muatan tersebut. Ternyata dari hasil percobaannya, diperoleh hasil sebagai berikut:

Pada jarak yang tetap, besarnya gaya berbanding lurus dengan hasil kali muatan dari masing –masing muatan. Besarnya gaya tersebut berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua muatan.  Gaya antara dua titik muatan bekerja dalam arah sepanjang garis penghubung yang lurus.  Gaya tarik menarik bila kedua muatan tidak sejenis dan tolak menolak bila kedua muatan sejenis. Hasil penelitian tersebut dinyatakan sebagai hukum Coulomb, yang secara matematis:

k adalah tetapan perbandingan yang besarnya tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Pada sistem SI, gaya dalam Newton(N), jarak dalam meter (m), muatan dalam Coulomb ( C ), dan k mempunyai harga :

sebagai konstanta permitivitas ruang hampa besarnya = 8,854187818 x 10^-12C2/Nm2. Gaya listrik adalah besaran vektor, maka Hukum Coulomb bila dinyatakan dengan notasi vector menjadi :

Dimana r₁₂ adalah jarak antara q₁ dan q₂ atau sama panjang dengan vektor r₁₂, sedangkan r₁₂ adalah vektor satuan searah r₁₂. Jadi gaya antara dua muatan titik yang masing-masing sebesar 1 Coulomb pada jarak 1 meter adalah 9 x 10⁹newton, kurang lebih sama dengan gaya gravitasi antara planet-planet.

Contoh 1:

Muatan titik q₁ dan q₂ terletak pada bidang XY dengan koordinat berturut-turut(x₁,y₁) dan (x₂,y₂), tentukanlah :

a. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

b. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

Penyelesaian :

a. Gaya pada muatan q₁ oleh muatan q₂

b. Gaya pada muatan q₂ oleh muatan q₁

Dari hasil perhitungan bahwa gayanya akan sama besar namun berlawanan arah.

Prinsip Superposisi

Dalam keadaan Rill , titik-titik muatan selalu terdapat dalam jumlah yang besar. Maka timbullah pertanyaan : apakah interaksi antara dua titik muatan yang diatur oleh Hukum Coulomb dapat dipengaruhi oleh titik lain disekitarnya? Jawabannya adalah tidak, karena pada interaksi elektrostatik hanya meninjau interaksi antar dua buah muatan, jika lebih dari dua buah muatan maka diberlakukan prinsip superposisi (penjumlahan dari semua gaya interaksinya).

Secara matematik, prinsip superposisi tersebut dapat dinyatakan dengan mudah sekali dalam notasi vektor. Jadi misalnya F₁₂ menyatakan gaya antara q₁ dan q₂tanpa adanya muatan lain disekitarnya, maka menurut Hukum Coulomb,

Begitu pula interaksi antara q₁ dan q₃ tanpa adanya muatan q₂, dinyatakan oleh :

Maka menurut prinsip superposisi dalam sistem q₁, q₂ dan q₃, gaya total yang dialami q₁tak lain adalah jumlah vector gaya-gaya semula :

Contoh 2 :

Tiga buah muatanmasing-masing q₁ = 4 C pada posisi (2,3), q₂ = -2 C pada posisi(5,-1) dan q₃ = 2 C pada posisi (1,2) dalam bidang x-y. Hitung resultan gaya pada q₂ jika posisi dinyatakan dalam meter.

Penyelesaian :

CARA MENGAMANKAN DATA KOMPUTER DENGAN TRUECRYPT

Saat ini mungkin Anda mempunyai beberapa file atau data rahasia yang tidak boleh diketahui sama orang lain, bagaimana Anda melindungi data rahasia tersebut? Dalam artikel ini saya akan memberikan tutorial sederhana tentang cara melindungi data-data pada komputer kita agar tidak bisa diakses oleh orang lain menggunakan aplikasi TrueCrypt.

TrueCrypt adalah sebuah software gratis dan open source yang dapat melindungi data rahasia Anda  dengan cara melakukan enkripsi data pada file, partisi, hardisk atau USB Flashdisk Anda. Aplikasi ini dapat berjalan pada sistem operasi Windows 7, Windows Vista, Windows XP, Mac OS X dan Linux.

Setelah aplikasi ini diinstall, pertama kali kita harus membuat sebuah TrueCrypt Volume yang nantinya digunakan sebagai wadah tempat peyimpanan data.  TrueCrypt Volume  bisa disimpan pada sebuah file (file yang berisi volume ini biasa disebut kontainer), partisi atau hardisk secara keseluruhan. Setelah Volume berhasil dibuat, maka langkah selanjutnya kita harus me-Mount Volume tersebut menjadi sebuah Virtual Drive. Pada Drive inilah nantinya kita akan bekerja, meyimpan, membaca atau mengedit data-data rahasia kita. Setelah selesai bekerja maka kita harus men-Dismount Virtual Drive tersebut, sehingga orang lain tidak bisa mengakses data-data kita.

Untuk lebih jelasnya, berikut langlah-langkah mengamankan data pada komputer menggunakan aplikasi TrueCrypt, dalam contoh ini saya akan menyimpan data rahasia pada sebuah file bernama PRIVATE yang saya simpan di C:DATAKU.

Langkah Pertama:  Menginstall Aplikasi TrueCrypt

1. Download aplikasi TrueCrypt di www.TrueCrypt.org saat ini sudah mencapai versi 7.0a.
2. Double klik file installer, pada jendela License Agreement klik Accept.
3. Selanjutnya pada jendela Wizard Mode, terdapat 2 pilihan, yaitu Install – untuk menginstall program pada komputer atau Extract – untuk membuat versi Portable dari aplikasi ini sehingga bisa kita jalankan dari USB Flashdisk.
   
4. Dalam contoh ini saya pilih Install, lalu klik Next dan pada jendela selanjutnya klik Install lalu Finish.

Langkah Kedua: Membuat TrueCrypt Volume

1. Jalankan aplikasi TrueCrypt dan klik Create Volume.
2. Selanjutnya akan muncul jendela TrueCrypt Volume Creation Wizard, dalam langkah ini kita harus memilih dimana Volume TrueCrypt akan dibuat. Karena kita akan meyimpan volume TrueCrypt ini pada sebuah file, maka pilih opsi pertama, lalu klik Next.
   
3. Tentukan tipe volume yang akan dibuat, secara default pilih Standard TrueCrypt volume lalu klik Next.
4. Langkah selanjutnya adalah menentukan lokasi tempat penyimpanan file. Dalam contoh ini kita akan meyimpan TrueCrypt Volume pada file yang saya beri nama PRIVATE yang berlokasi di C:DATAKU, pastikan sebelumnya folder DATAKU sudah dibuat, klik Next untuk melanjutkan.
   
5. Pada jendela Encryption Options, klik aja Next untuk memilih Algoritma Enkripsi secara default yaitu menggunakan AES (Advanced Encryption Standard).
6. Selanjutnya pada jendela Volume Size tentukan besarnya Volume yang akan kita buat, dalam contoh ini saya membuat Volume Size sebesar 250 MB, sesuaikan dengan data yang nantinya akan kita simpan.
7. Masukkan Password pada jendela selanjutnya, dunakan password yang strong tetapi mudah diingat, yang merupakan gabungan dari karakter special, huruf dan angka misalnya “f4$tnch3@p”
8. Kemudian Format Volume tersebut, klik Next dan Finish.

Langkah Ketiga : Mount TrueCrypt Volume ke Virtual Drive.

1. Jalankan aplikasi TrueCrypt, klik drive letter yang kita sukai, disini saya memilih drive P.
2. Klik Select File untuk memilih file yang telah kita buat, yaitu file PRIVATE pada folder C:DATAKU
   
3. Klik Mount, masukan password dan klik OK, sebuah virtual drive P akan terbentuk, klik Exit.
4. Simpan data-data rahasia kita ke drive ini, ingat ukurannya tidak boleh melebihi volume size yang telah kita buat.

Langkah Keempat : DisMount TrueCrypt Volume.

1. Apabila telah selesai, jalankan kembali aplikasi TrueCrypt, sorot virtual drive kita, lalu klik Dismount.

Langkah Kelima: Agar Data lebih Aman

Untuk lebih mengamankan data yang benar2 penting, maka kita bisa membuat sebuah Hidden Volume di dalam Standard Volume yang telah kita buat.  Nantinya kita akan mempunyai 2 buah TrueCrypt Volume dalam file yang bernama PRIVATE tersebut. Volume akan di Mount berdasarkan password yang kita masukkan.

Dengan cara ini, kita bisa memasukkan data-data biasa di volume yang satu dan data penting di volume yang lain. Bila suatu saat kita terpaksa harus memberikan password pada orang lain, maka berikan saja password untuk volume yang berisi data biasa, dan data yang penting masih aman pada volume yang lain.

Untuk membuat hidden volume ikuti langkah-langkah berikut ini:

1. Jalankan TrueCrypt, klik Create Volume, pilih Create an encrypted file container, klik Next
2. Selanjutnya pada volume type pilih Hidden TrueCrypt Volume, klik Next.
3. Karena kita sebelumnya telah mempunyai Normal TrueCrypt Volume, maka pada jendela Volume Creation Mode pilih Direct Mode klik Next
4. Pada jendela Volume Location, klik select file, lalu pilih lokasi file sebelumnya yitu C:DATAKUPRIVATE klik Next
5. Masukkan Password sebelumnya untuk membuka Normal TrueCrypt Volume.
6. Langkah selanjutnya adalah membuat Hidden Volume, klik Next, kemudian klik Next lagi
7. Isikan ukuran Hidden Volume, misalnya 100MB, klik Next
8. Isikan Password untuk Hidden Volume tersebut
9. Klik Next, lalu format volume tersebut. klik Finish
10. Selanjutnya, untuk Mount dan Dismount volume bisa kita ikuti lagi langkah keempat. Hanya saja volume yang akan di mount dapat kita pilih berdasarkan password-nya. Berikut tampilan TrueCrypt apabila saya memasukkan password hidden volume:
    

Demikianlah tutorial sederhana tentang cara mengamankan data komputer menggunakan aplikasi TrueCrypt.
Read more: http://blog.fastncheap.com/mengamankan-data-komputer-dengan-truecrypt/#ixzz1j4Ja8zf5

CARA MENAMBAHKAN FONT DI KOMPUTER

Jika anda suatu waktu merasa bahwa font windows yang ada di komputer anda masih kurang, maka anda bisa mendownload font dari beberapa sumber yang bersifat free (gratis).Anda hanya perlu memasukkan font yang telah didownload tersebut ke dalam direktori font Windows anda.

Untuk memulai proses penambahan font ke Windows lakukan prosedur berikut:
1. Coba buka situs penyedia font gratis berikut , klik disini

2. Setelah halaman situs berikut tampil, pilih kategori Font (dalam contoh ini saya mengambil nama font berdasarkan abjad saja, dengan menekan A)

3. Pada bagian bawah halaman akan muncul beberapa jenis font, beserta contohnya. Kita ambil saja Action Man. (silahkan pilih abjad yang lain sesuai selera)
Klik Tombol Download Win Font

4. Karena file tersebut masih dalam kondisi terkompres, gunakan aplikasi unkompres (unzip, winzip, winrar, atau unzip bawaan windows). Extract file tersebut.

5. Pilih file font di atas (gunakan Ctrl+Klik Mouse), untuk memilih file-file font (ekstensi file font adalah .ttf atau True Type Font File)
Klik kanan pada file yang telah terseleksi tersebut (atau tekan Ctrl+C)

6. Masuk ke direktori: C:\Windows\Fonts
Lakukan perintah Paste ( Ctrl+V), maka font di atas akan ditambahkan ke Windows

Atau Langsung Buka Control panel/Font — Paster disitu

7. Untuk mengujinya, apakah font berfungsi dengan baik, coba buka aplikasi Microsoft Word, atau Excel. Jika ada font Action Man di dalam Listbox Font, berarti anda sudah sukses menambah font ke Windows.

8. Anda bisa lakukan langkah di atas dengan menggunakan font lain.

SELAMAT MENCOBA !!!!!!!!!!!!!!!!!!

HUKUM GAUSS

Michael Faraday memperkenalkan cara menggambarkan medan (listrik, magnet, maupun gravitasi) melalui konsep garis gaya (garis medan). Garis gaya adalah garis-garis lengkung dalam medan yang dapat menunjukkan arah serta besarnya E pada setiap titik masing-masing dengan garis singgung dan kerapatan garisnya pada titik yang bersangkutan

Garis-garis gaya berawal pada titik muatan positif dan berakhir pada titik muatan negatif. Diantara titik awal dan titik akhir, garis gaya selalu kontinu dan tidak mungkin berpotongan, kecuali pada titik muatan lain yang terdapat diantaranya

Jumlah garis-garis gaya listrik yang menembus suatu permukaan secara tegak lurus didefenisikan sebagai fluks magnetic . Bila diketahui kuat medan E, maka jumlah garis gaya dyang menembus suatu elemen dA tegak lurus pada E adalah :

Bila permukaan dA tidak tegak lurus maka jumlah garis yang keluar dari dA haruslah

Dimana dA = ndA atau n adalah vektor normal dan sudut antara dA dengan bidang yang tegak lurus pada E. Bila kuat medan pada elemen seluas dA dan E, maka jumlah garis gaya yang keluar dari seluruh permukaan S adalah :

Elemen luas dA berada pada permukaan S harga medan ;listrik E diambil semua titik pada permukaan S.

Fluks listrik total untuk seluruh permukaan

Tanda menyatakan integrasi yang meliputi seluruh permukaan A. Untuk permukaan tertutup, elemen dA tegak lurus permukaan dan arahnya keluar. Fluks total untuk permukaan tertutup

Ternyata ada hubungan yang erat antara fluks listrik pada suatu permukaan tertutup dengan muatan listrik yang berada dalam permukaan tersebut dan hubungan ini dikenal dengan hukum Gauss, yaitu jumlah garis gaya yang keluar dari suatu permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh permukaan tetutup tersebut. Secara matematis

Dimana S adalah suatu permukaan tertutup q_iadalah jumlah muatan yang ada di dalam atau dilingkupi oleh permukaan tetutup S. jadi dengan hukum gauss kita dapat menentukan muatan yang ada di dalam permukaan tetutup, bila kita tahu berapa garis gaya yang keluar dari permukaan tetutup tersebut.

Contoh 4.

Di dalam ruang seperti pada gambar di atas terdapat medan listrik serba sama sebesar 10N/C berarah sumbu z kebawah. Hitung jumlah garis gaya yang keluar dari

a. Luas OABC (luas OABC = 2 m²)

b. Luas OFDC (luas OFDC = 2 m²)

Penyelesaian

a. Kuat medan listrik secara vector adalah E = -k 10 N/C Banyaknya garis gaya

Atau garis gaya banyaknya 20 buah dan arahnya menembus bidang OABC. Arah dA ada pada sumbu z positif sehingga d = dA

b. pada bidang ini dA = -jdA sehingga

Jadi banyaknya garis gaya = 0, berarti tidak ada garis gaya yang menembus bidang OFDC

CONTOH SOAL GAYA GRAVITASI

UNTUK MENGETAHUI  PEMAHAMAN ANDA TENTANG GAYA GRAVITASI SILAKAN SIMAK SOAL DIBAWAH INI !!!!!!!

Soal No. 1
Tiga buah benda A, B dan C berada dalam satu garis lurus.

Jika nilai konstanta gravitasi G = 6,67 x 10⁻¹¹ kg⁻¹ m³ s⁻² hitung:
a) Besar gaya gravitasi yang bekerja pada benda B
b) Arah gaya gravitasi pada benda B
Pembahasan
a) Benda B ditarik benda A menghasilkan F_BA arah gaya ke kiri, benda B juga ditarik benda C menghasilkan F_BC arah gaya ke kanan, hitung nilai masing-masing gaya kemudian cari resultannya

b) Arah sesuai F_BA ke kiri
Soal No. 2
Benda A dan C terpisah sejauh 1 meter.

Tentukan posisi benda B agar gaya gravitasi pada benda B sama dengan nol!

Pembahasan
Agar nol maka F_BA dan F_BC harus berlawanan arah dan besarnya sama. Posisi yang mungkin adalah jika B diletakkan diantara benda A dan benda C. Misalkan jaraknya sebesar x dari benda A, sehingga jaraknya dari benda C adalah (1−x)

Posisi B adalah ¹/₃ meter dari A atau ²/₃ meter dari B

Soal No. 3
Sebuah benda memiliki berat 600 N berada di titik q.

Jika benda digeser sehingga berada di titik p, tentukan berat benda pada posisi tersebut!

Pembahasan

Soal No. 4
Benda A, B dan C membentuk suatu segitiga sama sisi dengan panjang sisi adalah 1 meter

Tentukan besar gaya gravitasi pada benda B

Pembahasan
Benda B ditarik A menghasilkan F_BA dan ditarik benda C menghasilkan F_BC dimana sudut yang terbentuk antara F_BA dan F_BC adalah 60^o , hitung nilai masing-masing gaya, kemudian cari resultannya.

Dengan nilai G adalah 6,67 x 10⁻¹¹ kg⁻¹ m³ s⁻²

Soal No. 5
Tiga buah benda A, B dan C membentuk segitiga siku-siku seperti gambar berikut!

Tentukan besar gaya gravitasi pada benda B!

Pembahasan
Seperti soal sebelumnya hanya berbeda sudut, silahkan dicoba.

Soal No. 6
Tiga buah planet A, B dan C dengan data seperti gambar dibawah :

Sebuah benda memiliki berat 120 N ketika berada di planet A. Tentukan:
a) Berat benda di planet B
b) Perbandingan berat benda di planet A dan di planet C
Pembahasan
a) Berat benda di planet B, misal massa benda adalah m dan massa ketiga planet berturut-turut M_A , M_B dan M_C .

b) Perbandingan berat benda di A dan di C

SEMOGA DAPAT DI PAHAMI !!!!!!!!

Mengalikan Bilangan Menggunakan Rabdologia (Napier’s Bone)

John Napier adalah seorang matematikawan, fisikawan, ahli astronomi dan astrologi asal Skotlandia. Peninggalannya yang terkenal dalam bidang matematika diantaranya adalah Napier’s bones yang dikenal juga dengan nama rabdology atau rabdologia.

Rabdologia berasal dari bahasa yunani r(h)abdos artinya batang dan kata logia artinya belajar. Rabdologia adalah alat hitung semacam abakus yang digunakan untuk melakukan hitungan perkalian dan pembagian dengan menggunakan konsep dasar menjumlahkan untuk perkalian dan pengurangan untuk pembagian.

Napier’s bones terdiri dari sebuah papan dengan pinggiran dan satu set batang dengan tulisan angka-angka di dalamnya. Papan dan batang biasanya dibuat dari bahan kayu, metal atau kardus tebal.

Satu set Napier’s bones (Rabdologia) dan contoh daftar perkalian 7.

Walaupun demikian, tanpa menggunakan rabdologia semacam itu kita tetap bisa menggunkan konsep hitungan Napier’s bones untuk melakukan hitungan perkalian atau pembagian.

Berikut ini adalah contoh menghitung perkalian dengan memanfaatkan konsep hitungan pada rabdologia.

Contoh:

15 x 13 = ?

Untuk menyelesaikan perkalian dua digit, terlebih dahulu gambarlah empat buah kotak untuk mewakili digit-digit yang dikalikan itu sebagai berikut:

Langkah 1

Gambarkan empat buah kotak dengan masing-masing kotak dibagi dua menjadi dua bagian dengan sebuah garis diagonal.

Karena kita akan mengalikan 15 dengan 13, maka angka 1 dan 5 (untuk 15) ditulis di bagian atas kotak, dan angka 1 dan 3 (untuk 13) ditulis di samping kotak.

Langkah 2

Kalikan masing-masing digit angka itu, dan tulis hasilnya di dalam kotak yang sesuai. Perhatikan cara meletakkan hasil kali angka-angka itu. Satu kotak dibagi dua bagian dengan sebuah garis diagonal, bagian atas diagonal diisi dengan digit puluhan, dan bagian bawah diagonal diisi dengan digit satuan. Jadi, jika hasil kalinya berupa angka satu digit maka ditulis 0 di bagian atas diagonal, dan satu digit (satuan) itu disimpan di bagian bawah diagonal.

1 x 1 = 1 (ditulis 01 dalam kotak baris 1, kolom 1)

5 x 1 = 5 (ditulis 05 dalam kotak baris 1, kolom 2)

1 x 3 = 3 (ditulis 03 dalam kotak baris 2, kolom 1)

5 x 3 = 15 (ditulis 15 dalam kotak baris 2, kolom 2)

Langkah 3

Setelah semua kotak terisi penuh, saatnya menjumlahkan masing-masing angka itu sesuai posisi garis diagonalnya. Kita akan menjumlahkan mulai dari pojok bawah sebelah kanan.

5 (untuk digit satuan)

3 + 1 + 5 = 9 (untuk digit puluhan)

0 + 1 + 0 = 1 (untuk digit ratusan)

Hasil perkalian itu ditulis di bagian bawah dan samping kiri kotak. Berturut-turut, dari pojok bawah kanan ke arah kiri adalah digit satuan dan digit puluhan, dan di samping kiri bawah adalah digit ratusan. Tidak ada digit ribuan  Tidak ada digit ribuan, karena angka di pojok kiri atasnya 0.

Jadi, hasil dari 15 x 13 = 195.

Bagaimana, mudah bukan? Teknik ini juga bisa digunakan untuk mencari hasil perkalian dua buah bilangan besar.

Sekarang cobalah cari hasil kali dari 25 dengan 42 dengan menggunakan rabdologia seperti di atas

SELAMAT MENCOBA !!!!!!!!!!!!!!!!!

PERSEGI AJAIB

JIKA ANDA MERASA PINTAR COBA SELESAIKAN PERMASALAHAN BERIKUT TANPA MELIHAT PENYELESAIANNYA TERLEBIH DULU!!!!!!!!!!!!!!

“Disediakan 9 buah bilangan dari 1 sampai 9. Perintahnya adalah bagaimana menyimpan bilangan-bilangan itu pada kotak 9 kotak persegi (seperti pada gambar) sehingga jumlah sebuah masing-masing bilangan pada arah vertikal, horizontal, atau diagonal jumlahnya sama?”

Pernahkah Anda mendapatkan pertanyaan seperti permasalahan di atas?

Mungkin diantara Anda ada yang mengerjakannya dengan cara klasik dan manual, yaitu dengan mencoba bereksperimen memasukkan bilangan-bilangan itu kemudian mengecek apakah eksperimennya itu benar atau tidak, yakni menempatkan bilangan-bilangan itu pada urutan yang benar sehingga didapatkan hasil yang diinginkan.

Akan tetapi berapa lama Anda akan menghabiskan waktu untuk itu? Anda boleh menjawab pertanyaan saya ini jika Anda mencobanya. Catat waktu yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan persoalan itu dengan cara di atas, dan tuliskan di bagian komentar tulisan ini.

Walaupun cara itu tidak salah (malah bagus untuk melatih kesabaran dan ketelitian tetapi mengetahui cara menyelesaikannya dengan sebuah trik, mungkin itu lebih bagus.

BAGAIMANA ANDA BISA ?????????

INI DIA PENYELESAIANNYA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

berikut ini adalah langkah-langkah yang bisa Anda lakukan untuk mencari penyelesaiannya:

Penyelesaian:

Ini adalah kotak persegi yang akan kita isi bilangan dari 1 sampai 9.

Langkah 1

Pada setiap sisi persegi, buatlah kotak persegi pertolongan seperti gambar berikut:

Langkah 2

Isikan bilangan-bilangan tersebut secara berurutan menurut arah diagonal sebagai berikut:

Atau

Langkah 3

Tukarlah bilangan pada kotak pertolongan, bilangan yang ada di atas dengan yang ada di bawah, dan yang di samping kiri dengan yang di samping kanan. Isikan bilangan-bilangan hasil pertukaran itu, pada kotak kosong yang tersedia.

Sehingga diperoleh hasil akhir:

Sekarang coba kita periksa hasilnya:

2 + 7 + 6 = 15

2 + 9 + 4 = 15

9 + 5 + 1 = 15

2 + 5 + 8 = 15

dan seterusnya.

Ternyata semua bilangan pada baris, kolom dan diagonalnya memang menghasilkan bilangan yang sama, yaitu tiga kali bilangan yang terletak pada kotak bagian tengah (15).

Periksa juga kemungkinan lain (untuk kombinasi bilangan lain pada Langkah 2)!

Selain bentuk persegi 3 x 3 diatas, pola bilangan juga bisa ditemukan pada persegi ajaib 4 x 4.

LOGIKA MATEMATIKA

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.

Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

˜ : Merupakan lambang operasi untuk negasi

: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “ ˜ ” atau “–”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya –p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya –p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

B = benar

S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)

–p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. r : 3 bilangan positif (B)

–r : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negatif

(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

2) Pernyataan Majemuk

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh:

disebut konjungsi

disebut disjungsi

disebut Implikasi

disebut biimplikasi

3) Konjungsi ()

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B)

q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B)

4) Disjungsi/ Alternasi ()

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 1 akar persamaan (B)

q : -1 akar persamaan (B)

: 1 atau -1 akar persamaan (B)

2. p : Bogor di Jawa barat (B)

q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional ()

boleh dibaca:

jika p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2                                         (B)

(B)                                (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang    (B)

(S)                                                 (S)

6) Biimplikasi atau Bikondisional ()

boleh dibaca:

p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)

jika p maka q, dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. 2 x 2 = 4  jika dan hanya jika 4 : 2 = 2        (B)

(B)                                                  (B)

2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0         (S)

(B)                                                (S)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

Implikasi :

Inversnya : –p→ –q

Konversnya :

Kontraposisinya :  –q→–p

Contoh:

Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas

Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas

Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring

Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Dengan tabel kebenaran:

		–p	–q	Implikasi	Invers –p→ –q	Konvers	Kontraposisi –q→–p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:

Catatan:

“” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

1) Pengertian Argumen

Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!

1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)

Harga barang naik                                                                            (premis 2)

Jadi permintaan barang turun                                                     (konklusi)

2. Jika , maka  (premis 1)

(premis 2)

Jadi  (konklusi)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

• Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
• Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.

1. Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa anteseden

——–

(konklusi)

Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Argumentasi ini sah karena untuk premis  dan p benar, konklusi q juga benar.

Contoh:

Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

Harga barang naik

Jadi permintaan barang turun

2. Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

–p (premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

(konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi juga benar.

Contoh:

Persamaan , , maka dan berlainan

dan tidak berlainan

Jadi persamaan ,

3. Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa implikasi

———-

(konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi

juga benar.

Contoh:

Jika , maka

Jika , maka

Jadi jika , maka

2) Pernyataan Majemuk

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh:

disebut konjungsi

disebut disjungsi

disebut Implikasi

disebut biimplikasi

3) Konjungsi ()

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B)

q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B)

4) Disjungsi/ Alternasi ()

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

 

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 1 akar persamaan (B)

q : -1 akar persamaan (B)

: 1 atau -1 akar persamaan (B)

2. p : Bogor di Jawa barat (B)

q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional ()

boleh dibaca:

jika p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

 

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2                                         (B)

(B)                                (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang    (B)

(S)                                                 (S)

 

 

6) Biimplikasi atau Bikondisional ()

boleh dibaca:

p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)

jika p maka q, dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

 

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. 2 x 2 = 4  jika dan hanya jika 4 : 2 = 2        (B)

(B)                                                  (B)

2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0         (S)

(B)                                                (S)

 

 

Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

Implikasi :

Inversnya :

Konversnya :

Kontraposisinya :

Contoh:

Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas

Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas

Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring

Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring

Dengan tabel kebenaran:

				Implikasi	Invers	Konvers	Kontraposisi
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:

Catatan:

“” artinya ekivalen

Contoh:

Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”

Jawab:

Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”

Penarikan Kesimpulan (Inferensi)

1) Pengertian Argumen

Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!

1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)

Harga barang naik                                                                            (premis 2)

Jadi permintaan barang turun                                                     (konklusi)

2. Jika , maka  (premis 1)

(premis 2)

Jadi  (konklusi)

Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

• Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
• Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).

2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma

Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.

1. Modus ponens

Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa anteseden

——–

(konklusi)

Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Argumentasi ini sah karena untuk premis  dan p benar, konklusi q juga benar.

Contoh:

Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

Harga barang naik

Jadi permintaan barang turun

2. Modus tollens

Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa negasi dari konsekuen

———-

(konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi juga benar.

 

 

Contoh:

Persamaan , , maka dan berlainan

dan tidak berlainan

Jadi persamaan ,

3. Silogisma

Bentuknya sebagai berikut:

(premis 1) berupa implikasi

(premis 2) berupa implikasi

———-

(konklusi)

Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis dan benar, konklusi

juga benar.

Contoh:

Jika , maka

Jika , maka

Jadi jika , maka